بررسی دقت روش باقیمانده های وزن دار در حل معادله انتقال حرارت

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "بررسی دقت روش باقیمانده های وزن دار در حل معادله انتقال حرارت"

Καλλίστη Φιλιππίδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 دومین همايش ملي انتقال حرارت و جرم ايران ICHMT24 دانشکده مهندسي مکانیک دانشگاه سمنان سمنان ايران 82 تا 82 آبان 2 بررسی دقت روش باقیمانده های وزن دار در حل معادله انتقال حرارت 2 علیرضا رضایی آهوانویی محمودرضا دارایی ICHMT24-H465 سمنان- خیابان سعدی شهرداری سمنان کارشناس ارشد تاسیسات شهرداری سمنان Alireza_r.986@yahoo.com 2 سمنان- خیابان سعدی شهرداری سمنان معاون عمراني شهرداری سمنان Mahmoo_Daraiy@yahoo.com چکیده در برخي از کاربردهای مهندسي گاهي اوقات به مسائلي برمي خوريم که نمي توان برای آنها حل تحلیلي پیددا کدرده يدا رسدیدن بده حدل تحلیلي بسیار زمان بر و دشوار است. در اين مواقع به سراغ راحل های عددی مي رويم. بسته به اينکه مسئله مورد نظر در چه زمینه ای قرار داشته و دقت موردنظر ما چقدر است مي توان از روش های متعددی استفاده کرد مثل روشهای باقیمانده های وزندار روش حجم محدود روش المان محدود وغیدره. روش هدای عدددی ندامهرده بدرای ید گسترده ای از مسائل مکانیک سیاالت و انتقال حرارت مورد اسدتفاده قرار مي گیرند. با توجه به اينکه بسیاری از مسائل در مکانیک سیاالت و انتقال حرارت منجر به حل معادالت غیر خطي مي شدوند اسدتفاده از روش های عددی بسیار مفید بوده و مي تواند باعث صرفه جويي در وقت و هزينه شود. در اين پروژه هدف حل معادله انتقال حرارت يدک بعددی و غیدر د ائم ب ا اس دت ف ا ده ا ز ر وش د ه ا ی ب ا قی م ان د ده و زن د د ا ر م د ي ب اش د د. ر وش د ه ا ی باقیمانده وزندار شامل چند روش مي باشند که در اين پروژه از روش های گالرکین تمرکز نقاط و زيردامنه برای حل مسئله استفاده مدي کنیم. در پايان جواب ها را با حل دقیق مسئله مقايسه کرده و دقدت هر روش را تعیین مي کنیم. نرم افدزار مدورد اسدتفاده بدرای تحلیدل متلب مي باشد. واژه های کلیدی حل عددی-باقیمانده های وزندار-گالرکین-زيردامنه-تمرکزنقاط مقدمه امروزه حل مسائل خطي دشوار نیست. هرچند حل مسائل غیر خطي به صورت حل عددی يا حل تحلیلي دشوار است. روشدهای متعدددی برای معادالت ديفرانسیل وجود دارند. يکي از اين روشها که برای حل مشائل مرزی معادالت ديفرانسیل خطدای کمتدری تولیدد مدي کندد توسد) نچدن 22 ( نشدان داده شدده اسدت.[ ] هدر چندد روش تخمیني معادالت ديفرانسیل مسائل مقدار اولیه با استفده از روشهای برنامه نويسي جديد و روش تمرکز نقاط و پیشدرفت روشدهای بهینده سازی توس) نزينک 22 ( نشان داده شده است.[ 2 ] رابطده اصدلي برای همگرايي مرزهای بااليي و پايیني در مرزی پیوسته خاص توس) ناپل و هانگ 29 ( نشان داده شده است.[ ] روش باقیماندده هدای وزني براساس معادله ديفرانسیل حاکم يک دستورالعمل برای بدسدت آوردن حل تقريهي مسائل فیزيکي مهندسي مي باشد. اخیرا روشهای باقیمانده وزني که روشهای رويکردی دوگانده محسدوب مدي شدوند برای گسترش حل تقريهي معادالت ديفرانسیل خطدي بدا اسدتفده از برن ا مه ه ا ی ري ا ض ي غیر خط د ي ب ده ک د ا ر م د ي ر ون د د. ر وش د ه ا ی ر وي ک در د دو رفه برنامه های کامپیوتری و روش باقیمانده های وزندي را بدرای حل معادالت ديفرانسیل به کار مي برند. اين روش حلي شهه دقیق است که بر پايه روشهای گالرکین زيردامنه تمرکز نقاط و برنامه های رياضي برای ساخت نامعادله دو رفه مي باشند. بدين منظور مسدائل معادالت ديفرانسیل به مسائل برنامه نويسي رياضدي تهدديل خواهندد شد. توس) روشهای بهینه سازی مي توان حداقل و حد اکثدر جدواب برای ارضای نامعادله را بدست آوريم. مزايای اين روش استفاده کمتر از حافظه های کامپیوتری مورد نیاز در مقايسه با روش المان محدود مي باشد. همچنین بازدهي دقت سادگي و از لحاظ اقتصادی مقرون بصرفه مي باشد. مساله معادله ديفرانسیل غیر خطي بده عندوان يدک مثال در نظر گرفته شده است. شرح روش. روشهای باقیمانده وزندار 8 در روشهای باقیمانده وزندار ابتدا حلي برای مسئله پیشنهاد مي شود از آنجائي که حل پیشنهادی بايد در معادلده ديفرانسدیل مدورد نظدر صدق کند آن را در معادله ديفرانسیل قرار داده و يک عهارت مساوی با صفر پیدا کرده و آن را باقیمانده R مي نامیم. سپس بدرای حدل مسئله باقیمانده R را در رابطه زير قرار مي دهیم : RW(x)dx = () که در آن w(x) تابع وزن بوده و کران انتگرال در محدوده x مسدئله مي باشد. الزم به توضدی اسدت کده در رابطده( ) تدابع وزن w(x) همواره تابعي از x مي باشد. بسته به اينکه تدابع وزن w(x) چده مقدداری دارد روش هدای مختل زير به وجود مي آيند. -. روش زير دامنه زير دامنه 2 Weighted Residual Sub Domain Matlab

2 در اين روش بازه حل مسئله بسته به نوع مسئله بده چندد زيدر بدازه تقسیم کرده و در تمامي اين زير بازه ها تابع وزن w(x) مساوی يک مي باشد يعني رابطه () به صورت زير در مي آيد : Rdx = (2).2- روش گالرکین در اين روش تابع وزن w(x) هم جنس و از پايده جدواب پیشدنهادی انتخاب مي شود. اگر جواب پیشنهادی چند جمله ای باشد تابع وزن نیز چند جمله ای و اگر جواب پیشنهادی از نوع Sin يدا Cos باشدد تابع وزن نیز مانند آن انتخاب مي شود. در اين حالت رابطده () بده صورت زير در مي آيد : RW m (x)dx =, m =,2, () 5 -. روش تمرکز نقاط در اين روش تابع وزن w(x) از جدنس تدابع ضدربه مدي باشدد. بدا تعري اين وزن و جايگزيني آن در معادله () داريم : W k (x) = δ(x x k ) ; RW k (x)dx = R(x k ) = (4) شرح مساله مي خواهیم معادله انتقال حرارتي را با استفاده از روشهای باقیمانده وزندار حل کنیم. معادله به صورت زير تعري ميشود : θ t 2 θ x 2 = (5) IC: θ(x, t = ) = x + sinπx BC s: θ(x =, t) =, θ(x =, t) = t.2, x جواب پیشنهادی به صورت زير تعري شده است : θ(x, t) = x + sinπx + a j (t)(x j x j+ ) j= =,5,7 (6) حل دقیق معادله شماره (5) نیز به صورت زير داده شده است : θ(x, t) = x + e π2t sinπx (7) برای حل مسئله بايد باقیمانده را حساب کندیم. بدا توجده بده جدواب پیشنهادی وجايگذاری در معادله (5) داريم : حال بسته به نوع روش و تابع وزن مربو ده بايدد رابطده () را حدل کنیم. اين رابطه را برای =,5,7 است به خا ر وجود ترم زمان حل مي کنیم. الزم بده تدذکر در معادالت در نهايت در هر قسمت به يک دستگاه معادالت ديفرانسیل رسدیده و آن را در محددوده زمداني داده شده يعني مرحله زماني بدست مي آوريم. a j حل کدرده و ضدرايب t.2 را در هدر همانطور که مي دانیم بايد شراي) اولیه و شدراي) مدرزی در جدواب پیشنهادی صدق کنند. شراي) مرزی خود به خود ارضاء مدي شدوند و برای شراي) اولیه داريم : j= a j ()(x j x j+ ) = a () = a 2 () = = a () (9) برای حل دستگاه معادالت ديفرانسیل نیاز به شراي) اولیه داريدم کده اين شراي) توس) رابطه (9) بیان مي شوند. به راحتي و با اسدتفاده از روش رانگ-کوتا مرتهه جهارم حل کرد.. مي توان دستگاه معادالت ديفرانسیل را معادله را با روشهای خواسته شده حل مي کنیم : روش زير دامنه شکل :روش زير دامنه = R = π 2 sinπx + da j (t) (x j x j+ ) dt j= a j (t)[ j(j )x j 2 j= j(j + )x j ] (8) 4 Galerkin آبان ICHMT24 2

3 C = M mj = m+j+ j= π 2 sinπx. (x m x m+ )dx = ; m =,2,.., (5) و در شکل ماتريسي داريم : 2 + m+j+ m+j+2 (6) j(j ) B mj = [ m + j 2j2 m + j j(j + ) + m + j + ] (7) حال مي توان رواب) را برای =,5,7 حدل کدرد. الزم بده تدذکر شکل 8. روش زير دامنه 5= است که در تمامي رواب) داريم : m =,2,.., حال با دانستن و حل دستگاه معادالت ديفرانسدیل (2) بدا گدام زماني.4 مي توان ضرايب a j را در بازه حل مسئله بدست آورد. شکلهای زير نمودار حل بدست آمدده توسد) روش گدالرکین و حدل دقیق را نشان مي دهند. شکل. روش زير دامنه 7= 2.روش گالرکین در ابتدا بايد تابع وزن را مشخص کنیم. چون جواب پیشنهادی چند جمله ای مي باشد و شامل توان های x j و +j x مي باشد تابع وزن شکل.حل توس) روش گالرکین برای = را هم جنس با آنها و به صورت زير تعري ميکنیم : W m (x) = x m x m+ () با توجه به رابطه () و رابطه () داريم : R(x m x m+ )dx = m =,2, () با محاسهه رابطه () به دستگاه معادالت ديفرانسیل زير مي رسیم : Ma + Ba + C = (2) که در آن : R = π 2 sinπx + da j (t) (x j x j+ ) dt j= a j (t)[ j(j )x j 2 j(j + )x j ] j= M = (x j x j+ ). (x m x m+ )dx j= = ; m =,2,.., ( ) B= [ j(j )xj 2 j(j + )x j ] j=i. (x m x m+ )dx = ; m =,2,.., (4 ) آبان ICHMT24 2

4 شکل 5. حل توس) روش گالرکین برای = 5 شکل 2 - حل توس) روش تمرکز نقاط برای = 5 شکل 9.- حل توس) روش گالرکین برای = 7.روش تمرکز نقاط شکل 2 - حل توس) روش تمرکز نقاط برای = 7 شکل - حل توس) روش تمرکز نقاط برای = بحث و نتیجه گیری همانطور که مي دانیم برای مقايسه در روشهای عددی بايد خطدا ی روش عددی مورد نظر را نسهت به حل دقیق مسئله حساب کنیم. در اين مسئله خاص حل دقیق هق رابطه (7) بیان شده اسدت. در حلهای عددی معموال" RMS خطا را حساب مي کنند. RMS خطا به صورت زير تعري مي شود: RMS Error = (θ i= θ) 2 تعدداد نقداط انتخدابي θ حدل عدددی در مکدان (8) کده در آن مشخص θ x حل دقیق در مکان مشخص x معادله را برای =,5,7 مي باشند. و با سه روش حل کرديم. حال در يک x مشخص مانند =.5 x و برای زمان های مختل جوابهدای عددی را با جواب دقیق مقايسه مي کنیم. با داشتن RMS خطا برای روشهای مختل مي توان آنهدا را در مقیاس لگاريتمي برای =,5,7 رسم کرد. با توجه به توضیحات موارد زير را مي توان نتیجه گیری کرد :. همانطوری که در جدول 8 نشان داده شده است با افزايش مقددار RMS خطا کمتر مي شود. اين بدان معنا است که هر چه در فدرم آبان ICHMT24 2

5 پیشنهادی از تعداد جمالت بیشتری استفاده شود روش عددی مورد نظر دارای خطای کمتری مي باشد. 8. با دقت در جدول و جدول 8 متوجه مي شويم در يک x خاص بیشترين خطا در زمدان =.2 t اتفداق مدي افتدد. الهتده در حدل دستگاه معادالت ديفرانسیل مربوط به هر روش اگر فاصله های زماني کوچکتر انتخاب شوند مقدار خطا نیز کمتر خواهد بود. ولي ماکزيمم مقدار همواره مربوط به مرحله زماني =.2 t است. جدول - جواب عددی و دقیق برای = x =.5 زمان های مختل و t شکل - نمودار لگاريتمي RMS خطا بر حسب. با توجه به داده های جدول 8 و شکل متوجه مدي شدويم کده دقت روش گالرکین بهتر از روش زير دامنده و دقدت روش زيدر دامنه بهتر از رو ش تمرکز نقاط است. شیب نمودار در شکل برای اين روشها به صورت زير هستند : روش زيددر دامندده -, روش گددالرکین -, روش تمرکددز نقاط 2.- پس مي توان نتیجه گیری کرد که در بین روش هدای باقیماندده وزندار روش گالرکین بهترين از نظر دقت است.. در مورد روش تمرکز نقاط مي توان گفت کده چدون در ايدن روش نقاط انتخابي به صورت سعي و خطا انتخاب مي شوند ايدن روش يک روش وقدت گیدر بدوده و ضدمنا" از دقدت خدوبي نیدز برخوردار نیست. در ضمن چون در اين روش نقداط انتخدابي بده ور مستقیم در باقیمانده R جايگزين مي شوند در حالي کده در بقیه روش ها از باقیمانده R انتگرال گرفته مي شود که مي تدوان از آن به عنوان يک عامل در خطای باالی اين روش ياد کرد.. مراجع [] C.K. Chen, T.M. in, C.. Chen, Error bound estimate of weighted residuals method using genetic algorithms, Applied Mathematics and Computation 8 (997) [2] S.Y. Xing, Z.Q. i, B.A. Zhu, Two methods of mathematical programming and weighted residuals, Journal of Xi_an Highway University 7 (997) 6 65 (in Chinese). [] F.C. Appl, H.M. Hung, A principle for convergent upper and lower bounds, International Journal of Mechnical Sciences 6 (964) [4] B.-A. Zhu, The mathematical programming of MWR, Journal of Tianjin University 4 (99) 6 (in China). [5] C.A.J. Fletcher,"Computational Techniques For Fluid Dynamics", Seconed Edition, Springer-Verlag [6] ements/weighted_residual_method [7] مجذوبي غالمحسین روشهای عددی کاربردی در مهندسي و علوم 22 چاپ دوم تهران انتشارات دانشگاه ابوعلي سینا. Galerkin جدول 8 - RMS خطابرای های مختل در =.2 t Galerkin Subdomain Subdomain.4489 e e-5.77 e e e-4.5 e Exact Solution e e e- Galerkin.4489 Subdomain آبان ICHMT24 2

6 82-82 آبان ICHMT24 2

Σχετικά έγγραφα

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور